我想知道在 sagemath 中是否有一种干净的方法来生成具有特定模数条件的随机素数？对于模数条件，我的意思是，例如，我可能想要生成一个随机素数 $1 \pmod{12}$ 或 $3 \pmod{4}$。

当然有random_prime，但我在文档中看不到任何允许您指定模数条件的内容。有一种蛮力替代方法，您可以在其中列出满足模数条件的所需边界之间的所有数字，检查它们是否为素数，然后将所有素数放入列表中并使用 python 函数选择列表中的一个元素随机的，但我认为也许有更优雅的方法。

解决方案

看看 sage 使用的代码很有趣random_prime。它本质上是这样的：

def random_prime(lowerbound, upperbound):
    # some input validation that I ignore
    while True:
        p = randint(lowerbound, upperbound)
        if is_prime(p):
            return p

尝试所有数字然后检查素数的原因之一是 sage 希望对范围内的所有素数进行均匀分布。选择一个随机整数，然后搜索它上面的最小素数会不成比例地避免孪生素数中的较大对，例如 --- 而圣人希望避免这种情况。

有可能让 sage 仅仅寻找可能的素数，它is_pseudoprime代替is_prime上面的使用。根据范围，这可能会快得多。（这使用了 Baillie-PSW pseudoprimality test，目前没有已知的例外......即使我们推测有无限多）。

这提示了潜在的解决方案

def random_prime_in_a_mod_b(lowerbound, upperbound, a, b, proof=False):
    """
    Returns a random prime in [lowerbound, upperbound]
    that is congruent to a mod b.
    """
    if not gcd(a, b) == 1:
        raise ValueError("a and b are not coprime")
    if not lowerbound < upperbound:
        raise ValueError("lowerbound is not smaller than upperbound")
    if proof:
        prime_test = is_prime
    else:
        prime_test = is_pseudoprime
    while True:
        n = randint(lowerbound // b, upperbound // b)
        p = n * b + a
        if p < lowerbound or p > upperbound:
            continue
        if prime_test(p):
            return p

此函数在给定范围内与模 b 一致的整数中统一选择。通过自己执行模数工作，我们永远不会在错误的同余类中测试素数。

根据您对用户的信任程度，使用额外的输入验证可能是有意义的，例如检查 a 和 b 是否为非负数，或者该范围[lowerbound, upperbound]包含至少一个与 a mod b 一致的数字，等等。