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线性代数学习笔记(一)——二阶和三阶行列式

发布于2020-06-23 23:01     阅读(254)     评论(0)     点赞(2)     收藏(1)


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本篇笔记从解方程组开始,并引入一种新运算,然后了解二阶行列式和三阶行列式相关定义,如元素、行标、列标、主对角线、次对角线等。同时为了研究行列式展开项与元素下标之间的关系,还引入了排列、逆序、逆序数、奇排列、偶排列、标准排列、自然排列、N级标准排列以及对换等概念。

1 方程组

{5x+6y=79x+4y=3

×9×5得:
{5×9x+6×9y=7×99×5x+4×5y=3×5

得:
(5×46×9)y=3×57×9

解得:
y=3×57×95×46×9

同理可得:
x=7×46×35×46×9

通过观察上述,的值可以发现,分子和分母都是四个数分别为:两两先相乘,再相减

2 定义一种新运算

通过左右两条竖线,中间放入四个数字,表示对角线上数字先相乘再相减,定义以下运算:
abcd=adcb

上述x,y可表示为:
{x=7×46×35×46×9=73645964y=3×57×95×46×9=39755964

3 二阶行列式

二阶行列式由4个数写成2行和2列,并在左右两边加上竖线组成。
a11a12a21a22

行列式表示一个数,上述二阶行列式的值为:a11a22a12a21

元素:每个元素使用aij表示。
行标i为行标,表示第几行。
列标j为列标,表示第几列。
主对角线:\,从左上角到右下角。
次对角线:/,从左下角到右上角。

举例:
1793=1×39×7

mnab=mban

λ112λ=λ(λ1)1×2

=

4 三阶行列式

三阶行列式也可以由方程组推出。它由9个数写成3行和3列,并在左右两边加上竖线组成。
a11a12a13a21a22a23a31a32a33

三阶行列式也可按照二阶行列式的划线法(对角线展开法)方式求值,其值为:
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32

总共有6项,其中主对角线方向3项为正数,次对角线方向3项为负数。

举例:
λ101λ1001=λ×λ×1+1×1×0+1×0×00×λ×01×1×00×1×λ

5 一些概念

为了解理N阶行列式,引入以下概念:
排列:由1,2,...,n组成的一个有序数组叫n级排列。

例如:
123
132
213
231
312
321
以上都是3级排列。

3145不是5级排列,因为缺少数字2,不满足有序的条件,所以数组中不能缺数。

n级排列一共有 n(n1)(n2)...3×2×1=n! 种。

逆序:比较大的数排在比较小的数前面构成逆序。例如:在排列4213中,4排在2前面就构成了逆序。
逆序数:排列中逆序的总数。
例如:
在排列4213中,逆序数为4,具体计算如下:
3(4后面比4小的数的个数)+1(2后面比2小的数的个数)+0(1后面比1小的数的个数)+0(3后面比3小的数的个数)

逆序数使用N表示,例如:N(4213)=4

奇排列:逆序数为奇数的排列。
偶排列:逆序数为偶数的排列。

标准排列:逆序数为0的排列,也称为自然排列
由n个数构成的逆序数为0的排列称为N级标准排列。例如:N(123...n)=0

举例:
求:N(54123)
解:
=4+3+0+0+0
=7
数逆序数的方法:从第一个数开始,依次数后面有几个比它小的数,顺序不能乱。

求:N(n(n1)(n2)...321)
解:
=(n1)+(n2)+...+2+1
=n(n1)2

对换:交换排列中的两个数。

例如:5412354213

由前面可知:N(54123)=7,而交换两个数后,N(54213)=4+3+1+0+0=8

6 定理

定理 1.1.1:一个排列经过一次对换,奇偶性会改变。

一个排列做偶数次对换,其奇偶性不变;一个排列做奇数次对换,其奇偶性改变。

定理 1.1.2:在所有的N级排列中,奇排列和偶排列的数量相等,各占:n!2

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作者:一切都会好起来over

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来源: python黑洞网

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