记忆内容

1 基本概念

  定义：含导数或微分的方程是微分方程 ($\text{D.E.}$).

  一般形式：$f(x,y,y^{\prime },...,y^{(n)})=0$

  微分方程的阶数：微分方程中所含导数或微分的最高阶数. 如下面的微分方程为二阶微分方程：
$$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$$

  微分方程的解：
    (1) 解：使微分方程成立的解.
    (2) 通解：微分方程中的解中所含的相互独立的任意常数的个数与$\text{D.E}$的阶数相等，称此解为微分方程的通解.
    (3) 特解：不含任意常数的解.
    $y_1=e^x$、$y_2=e^{2x}$是$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$的特解.
    $y_3=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}$是$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$的通解.

   初值条件：求一个微分方程某个特解所满足的条件.

   初值问题：
      (1) 求微分方程$y^{\prime }=f(x,y)$满足初值条件$y{|}_{x=x_0}=y_0$的特解的问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作：
$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=f(x,y)\\ y{|}_{x=x_0}=y_0\end{array}$$
      (2) 一阶微分方程的初值问题记作：
$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }=f(x,y,y^{\prime })\\ y{|}_{x=x_0}=y_0,y^{\prime }{|}_{x=x_0}=y_0^{\prime }\end{array}$$

   微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形.

2 一阶微分方程

(一) 可分离变量的微分方程

  特征：
$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}={\phi }_1(x){\phi }_2(y)$$

  解法：
    step 1: 分离变量；
    step 2: 两边积分.
$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x,y)\Rightarrow \frac{\text{d}y}{{\phi }_2(y)}={\phi }_1(x)\text{d}x\Rightarrow \int \frac{\text{d}y}{{\phi }_2(y)}=\int {\phi }_1(x)\text{d}x+C$$

  注意：在分离变量的过程中，要注意分母不为零. 在移项过程中，可能需要分类讨论.

(二) 齐次微分方程

  特征：
$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\phi (\frac{y}{x})$$

    或
$$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\phi (\frac{x}{y})$$

  解法：
    step 1:
$$令：u=\frac{y}{x}，则\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$$

      代入原方程得到：
$$u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\phi (u)$$

    step 2: 两边积分.
$$\int \frac{\text{d}u}{\phi (u)-u}=\int \frac{\text{d}x}{x}+C$$

(三) 一阶齐次线性微分方程

  特征：
$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=0$$

  通解公式：
$$y=C{e}^{-\int P(x)\text{d}x}$$

  注意：
    (1) $\int P(x)\text{d}x$并不表示$P(x)$的所有原函数，而表示一个确定的原函数. 实际上是${\int }_{x_0}^{x}P(x)\text{d}x$的简写，常数$x_0$可任取.
    (2) 高阶齐次线性微分方程也可使用该公式进行降阶，如：
$$y^{\prime \prime }+\frac{x+2}{x+1}{y}^{\prime }=0\Rightarrow y^{\prime }=C{e}^{-\int \frac{x+2}{x+1}\text{d}x}$$

    (3) 偏微分方程也可以该公式求解，如：
$$\frac{\partial f(0,y)}{\partial y}-\text{cot}y\cdot f(0,y)=0\Rightarrow f(0,y)=C{e}^{\int \text{cot}y\text{d}y}=C\text{sin}y$$

(四) 一阶非齐次线性微分方程

  特征：
$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x)$$

  通解公式：
$$y=[\int Q(x)e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C]e^{-\int P(x)\text{d}x}$$

  注意：
    (1) $e^{\int P(x)\text{d}x}$与$e^{-\int P(x)\text{d}x}$互为倒数，计算一个即可得到另一个，不要重复计算.
    (2) 一阶线性微分方程通解公式中，若$\int P(x)\text{d}x=\text{ln}|\phi (x)|$，则$\phi (x)$可以不加绝对值. 其他计算过程都要加!
    (3) $\int Q(x)...\text{d}x$、$\int P(x)\text{d}x$并不表示所有原函数，而表示一个确定的原函数. 实际上是${\int }_{x_0}^{x}Q(x)...\text{d}x$、${\int }_{x_0}^{x}P(x)\text{d}x$的简写，常数$x_0$可任取.

    如果一个一阶非齐次线性微分方程中含有另一个函数$f(x)$，如：
$$y^{\prime }+ay=f(x)$$

    则该方程的解中一定要将不定积分改为变积分限函数：
$$y=[{\int }_0^{x}f(x)e^{at}\text{d}t+C]e^{-ax}$$

(五) 伯努利方程

  特征：
$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$$

  解法：

    令$z=y^{1-n}$，则
$$\frac{\text{d}z}{\text{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$$

    代入原方程得到：
$$\frac{\text{d}z}{\text{d}x}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$$

    然后使用公式求解这个一阶非齐次线性微分方程即可.

  注意：
    若$n=0$，就是一般的一阶非齐次线性微分方程.
    若$n=1$，则为可分离变量的微分方程.

(六) 全微分方程

  定义：设$P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0$满足$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$$

    则称$P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0$为全微分方程.

  通解：
$$u(x,y)=C$$

    其中：
$$\text{d}u=P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$$

$$u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$$

  解法：
    step 1: 计算$P$、$Q$，确定满足全微分方程条件
    step 2: 使用公式计算$u(x,y)$，也可以使用凑微法.

3 可降阶的高阶微分方程

(一) $y^{(n)}=f(x)$

  解法： 进行$n$次不定积分即可求解.

(二) 缺$y$型：$f(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$

  解法：
    step 1:
$$令：y^{\prime }=p，则y^{\prime \prime }=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}，f(x,p,\frac{\text{d}p}{\text{d}x})$$

    step 2: 解出$p=\phi (x,C_1)$，则原方程通解为$y=\int \phi (x,C_1)\text{d}x+C_2$.

  注意：如果方程没有出现$y^{\prime }$，最低阶为$y^{(s)}$且还有更高阶，则应设$y^{(s)}=p$.

(三) 缺$x$型：$f(y,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$

    step 1:
$$令：y^{\prime }=p，则y^{\prime \prime }=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}，f(x,p,p\frac{\text{d}p}{\text{d}y})$$

    step 2: 解出$p=\phi (y,C_1)$，则$\int \frac{\text{d}y}{\phi (y,C_1)}=x+C_2$.

  注意：
    (1) 可降阶的微分方程除了规范解法以外，也可以使用一些技巧求解 (比如凑微法、使用一阶线性微分方程降阶等).
    (2) 如果是求特解，初值条件越早代入越好，在得到$p$与$x$的方程时就可以代入初值条件，求出常数部分.

4 高阶微分方程

(一) 定义

  (1) $n$阶齐次线性微分方程：
$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=0(\ast )$$

  (2) $n$阶非齐次线性微分方程：
$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=0(\ast \ast )$$

  (3) $n$阶非齐次线性微分方程分解：
    若$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$，则方程可分解为：
$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f_1(x){(\ast \ast )}^{\prime }$$

$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f_2(x){(\ast \ast )}^{\prime \prime }$$

(二) 解的结构

  (1) 若${\phi }_1(x),...,{\phi }_s(x)$为$(\ast )$的解，则$k_1{\phi }_1(x)+...+k_s{\phi }_s(x)$ (线性组合) 为$(\ast )$的解.

  (2) 若${\phi }_1(x),...,{\phi }_s(x)$为$(\ast \ast )$的解，则：
$$k_1+...+k_s=0\iff k_1{\phi }_1(x)+...+k_s{\phi }_s(x)为(\ast )的解$$

$$k_1+...+k_s=1\iff k_1{\phi }_1(x)+...+k_s{\phi }_s(x)为(\ast \ast )的解$$

    (例. $y_1$、$y_2$为$(\ast \ast )$的解，$\frac{y_1+y_2}{2}$也为$(\ast \ast )$的解.)

  (3) 若${\phi }_1(x)$、${\phi }_2(x)$为$(\ast )$、$(\ast \ast )$的解，则
$${\phi }_1(x)+{\phi }_2(x)为(\ast \ast )的解$$

  (4) 若${\phi }_1(x)$、${\phi }_2(x)$都为$(\ast \ast )$的解，则
$${\phi }_1(x)-{\phi }_2(x)为(\ast )的解$$

  (5) 若${\phi }_1(x)$、${\phi }_2(x)$为${(\ast \ast )}^{\prime }$、${(\ast \ast )}^{\prime \prime }$的解，则
$${\phi }_1(x)+{\phi }_2(x)为(\ast \ast )的解$$

  (6) 设${\phi }_1(x),...,{\phi }_n(x)$为$(\ast )$的$n$个线性无关解，则$(\ast )$的通解为
$$k_1{\phi }_1(x)+k_2{\phi }_2(x)+...+k_n{\phi }_n(x)(k_1,k_2,...,k_n为任意常数)$$

  (7) 设${\phi }_1(x),...,{\phi }_n(x)$为$(\ast )$的$n$个线性无关解，${\phi }_0(x)$为$(\ast \ast )$的一个特解，则$(\ast \ast )$的通解为
$$k_1{\phi }_1(x)+k_2{\phi }_2(x)+...+k_n{\phi }_n(x)+{\phi }_0(x)(k_1,k_2,...,k_n为任意常数)$$

(三) 高阶常系数线性微分方程

(1) 高阶常系数齐次线性微分方程

二阶

  形式：
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0(p,q为常数)$$

  解法：
    step 1. 列特征方程
$${\lambda }^2+p\lambda +q=0$$

    step 2. 判断特征方程的$\Delta$，确定通解公式
      (1) $\Delta >0$，则${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$，

       通解公式为：
$$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$$

      (2) $\Delta =0$，则${\lambda }_1={\lambda }_2$，
       通解公式为：
$$y=(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}$$

      (3) $\Delta <0$，则有两个共轭虚根${\lambda }_{1,2}=1\pm i$，
       通解公式为：
$$y=e^{\alpha x}(C_1\text{cos}\beta x+C_2\text{sin}\beta x)$$

三阶

  形式：
$$y^{\prime \prime \prime }+p{y}^{\prime \prime }+q{y}^{\prime }+ry=0$$

  特征方程：
$${\lambda }^3+p{\lambda }^2+q\lambda +r=0$$

  通解：

    (1) 若${\lambda }_1$，${\lambda }_2$，${\lambda }_3$为实单根 (两两不等)，则通解为：
$$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}+C_3{e}^{{\lambda }_{3}x}$$

    (2) 若${\lambda }_1={\lambda }_2\ne {\lambda }_3$为实根，则通解为：
$$y=(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}+C_3{e}^{{\lambda }_{3}x}$$

    (3) 若${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3$为实根，则通解为：
$$y=(C_1+C_{2}x+C_3{x}^2)e^{{\lambda }_{1}x}$$

    (4) 若${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta ，{\lambda }_3\in \mathbf{R}$，通解为：
$$y=e^{\alpha x}(C_1\text{cos}\beta x+C_2\text{sin}\beta x)+C_3{e}^{{\lambda }_{3}x}$$

$n$阶

  形式：
$$y^{(n)}+a_1{y}^{(n-1)}+...+a_{n-1}{y}^{\prime }+a_{n}y=0$$

  特征方程：
$${\lambda }^n+a_1{\lambda }^{(n-1)}+...+a_{n-1}\lambda +a_n=0$$

  通解：

  每一个通解对应项为$y_i$，则$n$阶常系数齐次线性微分方程的通解表示为：
$$y=y_1+y_2+...+y_n$$

(2) 高阶常系数非齐次线性微分方程

  下面只给出二阶常系数非齐次线性微分方程的解法：

  特征：
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)(p,q为常数)$$

$$(\ast \ast )的通解=(\ast )的通解+(\ast \ast )的特解$$

型1：$f(x)=P_n(x)e^{kx}$

  解法：
    step 1. 求出$(\ast )$的通解$y$.

    step 2. 按照$f(x)$的形式假设$(\ast \ast )$的特解$y_0=x^{?}{Q}_n(x)e^{kx}$. 其中$Q_n(x)$是对照$P_n(x)$确定的$n$次多项式.

      情形一：若$k$不等于任一特征值，令
$$y_0=Q_n(x)e^{kx}=(a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n)e^{kx}$$

        如：$f(x)=(x^2+2x)e^x$，则假设$y_0=(a{x}^2+bx+c)e^x$.

      情形二：若$k$与一个特征值相同，令
$$y_0=x\cdot Q_n(x)e^{kx}=x\cdot (a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n)e^{kx}$$

        如：$f(x)=(x+1)e^{2x}$，则假设$y_0=x(ax+b)e^{2x}$.

      情形三：若$k$与两个特征值都相同，令
$$y_0=x^2\cdot Q_n(x)e^{kx}=x^2\cdot (a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n)e^{kx}$$

        如：$f(x)=(2x-1)e^{2x}$，则假设$y_0=x^2(ax+b)e^{2x}$.

    step 3. 将特解代入原方程，解出未知数的值. (可以通过下面的快速确定特解减少运算量)

    step 4. 得到$(\ast \ast )$的通解$y=y+y_0$.

  快速确定特解：
    $p$为$y^{\prime }$的系数，$q$为$y$的系数.

    (1) $k\ne {\lambda }_1\ne {\lambda }_2$：
$$y_0=(a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n)e^{kx}=R(x)e^{kx}$$

      通过下面的式子即可直接确定待定常数：
$$R^{\prime \prime }+(2k+p)R^{\prime }+(k^2+pk+q)R=P_n(x)$$

    (2) $k={\lambda }_1\ne {\lambda }_2$：
$$y_0=x\cdot (a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n)e^{kx}=R(x)e^{kx}$$

      通过下面的式子即可直接确定待定常数：
$$R^{\prime \prime }+(2k+p)R^{\prime }=P_n(x)$$

    (3) $k={\lambda }_1={\lambda }_2$：
$$y_0=x^2\cdot (a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n)e^{kx}=R(x)e^{kx}$$

      通过下面的式子即可直接确定待定常数：
$$R^{\prime \prime }=P_n(x)$$

    特别强调：$R$是除去$e^{kx}$的整个多项式，包括前面多乘的$x^{\gamma }$.

    还有，如果$P_n(x)$足够简单，可以尝试直接看出特解.

  推广至$n$阶：
$$y_0=x^{\gamma }\cdot Q_n(x)e^{\lambda x}$$

    其中$\gamma$是特征方程中含根$\lambda$的重复次数.

型2：$f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\text{cos}\beta x+P_s(x)\text{sin}\beta x]$

  注意：
    (1) $P_m(x)$、$P_s(x)$分别代表$m$次和$s$次多项式.
    (2) 注意$\alpha$、$\beta$的位置：$f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\text{cos}\beta x+P_s(x)\text{sin}\beta x]$
    (3) 假设特解时，不管$f(x)$中有没有，正弦和余弦都需要设.

  解法：
    step 1. 求出$(\ast )$的通解$y$.

    step 2. 按照$f(x)$的形式假设$(\ast \ast )$的特解$y_0$.
        设$n=\text{max}(l,s)$，$Q_n(x)=(a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n)$.

      情形一：若$\alpha +i\beta$不是特征值，则令$$y_0(x)=e^{\alpha x}[Q_n^{(1)}(x)\text{cos}\beta x+Q_n^{(2)}(x)\text{sin}\beta x]$$

          $Q_n^{(1)}(x)$、$Q_n^{(2)}(x)$为两个不同的$n$次多项式.

      情形二：若$\alpha +i\beta$是特征值，则令$$y_0(x)=x\cdot e^{\alpha x}[Q_n^{(1)}(x)\text{cos}\beta x+Q_n^{(2)}(x)\text{sin}\beta x]$$

          $Q_n^{(1)}(x)$、$Q_n^{(2)}(x)$为两个不同的$n$次多项式.

  例：设$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+2y=x{e}^x\text{cos}x$，求该方程的特解形式.
    $1^o$ 由${\lambda }^2-2\lambda +2=0\Rightarrow {\lambda }_{1,2}=1\pm i$.
    $2^o$ 观察$x{e}^x\text{cos}x$，$\alpha =1$，$\beta =1$，$\alpha +i\beta =1+i$为特征值.
    $3^o$ 设该方程特解为：
$$y_0(x)=x{e}^x[(ax+b)\text{sin}x+(cx+d)\text{sin}x]$$

  推广至$n$阶：
$$y_0=x^{\gamma }\cdot e^{\alpha x}[Q_n^{(1)}(x)\text{cos}\beta x+Q_n^{(2)}(x)\text{sin}\beta x]$$

    其中$Q_n^{(1)}(x)$、$Q_n^{(2)}(x)$是$n$次多项式， n = max { l , s } n=\text{max}\{l,s\} n=max{l,s}，$\gamma$是特征方程中含根$\alpha \pm \beta i$的重复次数.

(四) 欧拉方程

   形式
$$x^n{y}^{(n)}+a_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+...+a_{n-1}x{y}^{\prime }+a_{n}y=f(x)$$

   解法
    若$x>0$，令$x=e^t$；若$x<0$，令$x=-e^t$.

    记$$\frac{\text{d}}{\text{dt}}=\text{D}，\frac{{\text{d}}^2}{{\text{dt}}^2}={\text{D}}^2，...，\frac{{\text{d}}^n}{{\text{dt}}^n}={\text{D}}^n$$

    则
$$x{y}^{\prime }=\text{D}y=\frac{\text{d}y}{\text{d}t}$$

$$x^2{y}^{\prime \prime }=\text{D}(\text{D}-1)y=\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{t}^2}-\frac{\text{d}y}{\text{d}t}$$

$$...$$

$$x^k{y}^{(k)}=\text{D}(\text{D}-1)...(\text{D}-k+1)y$$

$$...$$

$$x^n{y}^{(n)}=\text{D}(\text{D}-1)...(\text{D}-n+1)y$$

  步骤：
    以求$x^3{y}^{\prime \prime \prime }+x^2{y}^{\prime \prime }-4x{y}^{\prime }=3x^2$的通解为例.
    $1^o$先令$x=e^t$.

    令 $x=e^t$，则$t=\text{ln}x$

    $2^o$用微分算子$\text{D}$表示所有$x^k{y}^{(k)}$项，加在一起，原方程化为$y$和$t$的微分方程.

    原方程化为：$\text{D}(\text{D}-1)(\text{D}-2)+\text{D}(\text{D}-1)-4\text{D}=3e^{2t}$
    即 ${\text{D}}^{3}y-2{\text{D}}^{2}y-3\text{D}y=3e^{2t}$
    或

$$\frac{{\text{d}}^{3}y}{\text{d}{t}^3}-2\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{t}^2}-3\frac{\text{d}y}{\text{d}t}=3e^{2t}$$

    $3^o$此时方程为高阶常系数微分方程，可以进行求解：

    特征方程为：${\lambda }^3-2{\lambda }^2-3\lambda =0$
    解得：${\lambda }_1=0$，${\lambda }_2=-1$，${\lambda }_3=3$
    于是方程$\frac{{\text{d}}^{3}y}{\text{d}{t}^3}-2\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{t}^2}-3\frac{\text{d}y}{\text{d}t}=0$的通解为：

$$y=C_1+C_2{e}^{-t}+C_3{e}^{3t}=C_1+\frac{C_2}{x}+C_3{x}^3$$

    设特解为：$y_0=a{e}^{2t}=a{x}^2$，代入原方程得$a=-\frac{1}{2}$，于是特解
$$y_0=-\frac{x^2}{2}$$

    该欧拉方程的通解为：
$$y=C_1+\frac{C_2}{x}+C_3{x}^3-\frac{x^2}{2}$$

5 其他类型和技巧

(1) 关于化简

  化简到方程的解没有微分或导数符号就算正确，隐式通解也是正确的.

(2) 关于$C$、绝对值、分母

求通解

  下面用这个微分方程说明$C$、绝对值和分母需要注意的地方：
$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2xy$$

  该微分方程明显是可分离变量型的微分方程.

  在移项时注意到$y$在分母上，移动分母时一定要考虑分母是否为0. 就要像下面这样分类讨论：

    若$y=0$，显然这时方程的特解.
    若$y\ne 0$，
$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2xy\Rightarrow \frac{\text{d}y}{y}=2x\text{d}x$$

  完成分离变量的工作以后就可以对两边积分，得到：
$$\text{ln}|y|=x^2+C_1$$

  注意$\text{ln}$积分后要带绝对值：$\text{ln}|y|$，应该带绝对值，就一定要带绝对值.
  同时，解微分方程时，$C$在最后求完不定积分以后单独加在一侧即可 (因为两侧出现的常数项可以合并)，
  如果感觉在之后的运算中还会产生常数部分，就要对过程中出现的$C$进行编号 (比如上面的$C_1$).

$$\text{ln}|y|=x^2+C_1\Rightarrow y=\pm e^{C_1}{e}^{x^2}$$

  最后，需要对常数部分进行合并：

    令$C=\pm e^{C_1}$，于是
$$y=C{e}^{x^2}(C\ne 0)$$

  综合特解$y=0$，得到最终通解为：
$$y=C{e}^{x^2}$$

  另外，若等式两侧得待积分式都是$\text{ln}$，加$C$有以下技巧 (方便之后合并常数部分)：
$$\frac{\text{d}x}{x}=\frac{\text{d}u}{\sqrt{1+u^2}}(x>0)$$

$$\Downarrow$$

$$\text{ln}x=\text{ln}(u+\sqrt{1+u^2})+\text{ln}C$$

求特解

  求特解时，题目给出的特解条件其实就隐含了方程中$x$、$y$的范围.
  比如：求某方程满足初始条件$y(1)=1$的特解，就意味着$x$、$y$都只需考虑正数.

(3) 微分方程中出现变积分限函数

  清理被积函数中的积分限变量，再对方程两边求导以消去积分.

  如：
$$f(x)=\text{sin}x-{\int }_0^{x}tf(x-t)\text{d}t$$

$$\Downarrow$$

$$f(x)=\text{sin}x-{\int }_0^x(x-u)f(u)\text{d}t=\text{sin}x-x{\int }_0^{x}f(u)\text{d}u-{\int }_0^{x}uf(u)\text{d}u$$

$$\Downarrow$$

$$f^{\prime }(x)=\text{cos}x-{\int }_0^{x}f(u)\text{d}u$$

$$\Downarrow$$

$$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=-\text{sin}x$$

  尤其还要注意的是，带定积分的微分方程可能具有隐含条件. 如：
$$f(x)-{\int }_0^{x}f(x-t)\text{d}t=e^x$$

  假设题目要求$f(x)$. 乍一看没有初始条件，很容易以为求到带$C$的结果就结束了.
  但实际上由于定积分的特点，方程显然满足还$f(0)=0$，结果自然是不应该出现$C$的.

      且$u(0)=1$，$u^{\prime }(0)=0$，求$f(v)$.

(4) 分子为$1$型微分方程

  形式如下：
$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{\phi (x,y)}$$

  这类题目有以下几种思路：

    (1) 分子分母交换，然后对$x$使用一阶齐次线性微分方程的通解公式，如：

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{2x+y^2}\Rightarrow \frac{\text{d}x}{\text{d}y}-2x=y^2$$

    (2) 对分母使用换元法，转化为易解微分方程. 尤其是分母次数较高的情况，如：
$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{(x+y{)}^2}$$

(5) 换元法 (变换)

$x$、$y$交换

  题目需要交换$x$、$y$的角色才能求解，各类微分方程都有使用场景.

  比如在齐次方程中，题目只给了$y>0$的条件，而$x$不确定，导致只能移项时避免除$0$，只能出现$\frac{x}{y}$，就需要令$u=\frac{x}{y}$.

  有的题目可以通过对$x$使用通解公式，转化为一阶线性非齐次微分方程问题，比如：
$$y^{\prime }=\frac{1}{2x-y^2}$$

  字母都集中在分母上，又不能用齐次或分离变量很好解决，可以考虑交换$x$、$y$：

$$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}+P(y)x=Q(y)，x=[\int Q(y)e^{\int P(y)\text{d}y}\text{d}y+C]e^{-\int P(y)\text{d}y}$$

一般换元

  例如：
$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{(x+y{)}^2}$$

  令$x+y=u$，则
$$\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{1+u^2}{u^2}$$

  又比如：
$$y\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-\frac{1}{2x}{y}^2=-\frac{x}{2}$$$$\Rightarrow \frac{\text{d}{y}^2}{\text{d}x}-\frac{1}{2x}{y}^2=-x$$$$\Rightarrow y^2=[\int -x\cdot e^{-\int \frac{1}{2x}\text{d}x}\text{d}x]\cdot e^{\int \frac{1}{2x}\text{d}x}$$

  注意：换元法不易想到，不过考试时复杂题目会直接给出变换. 先完成变换，再求通解.

三角函数换元

  一阶微分方程中出现三角函数，一定要考虑能否用换元法解决.

  比如要求下面这个微分方程：
$$y^{\prime }+\text{sin}y+x\text{cos}y+x=0$$

  下面给出过程：
$$y^{\prime }+\text{sin}y+x\text{cos}y+x=0\iff y^{\prime }+\text{sin}y+x(\text{cos}x+1)=0$$

$$\iff y^{\prime }+2\text{sin}\frac{y}{2}\text{cos}\frac{y}{2}+2x{\text{cos}}^2\frac{y}{2}=0$$

    两边除以$2{\text{cos}}^2\frac{y}{2}$，得到
$$\frac{1}{2}{\text{sec}}^2\frac{y}{2}\cdot \frac{\text{d}y}{\text{d}x}+\text{tan}\frac{y}{2}=-x$$

$$\iff \frac{\text{d}(\text{tan}\frac{y}{2})}{\text{d}x}+\text{tan}\frac{y}{2}=-x$$

    令$u=\text{tan}\frac{y}{2}$，原方程化为：
$$\frac{\text{d}u}{\text{d}x}+u=-x$$

    问题就转化一阶非齐次线性微分方程了.

反函数变换

  有的题目会要求把微分方程替换为反函数满足的微分方程，牢记下面两个反函数的变换：

$${\phi }^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$$

$${\phi }^{\prime \prime }(y)=-\frac{f^{\prime \prime }(x)}{f^{\prime 3}(x)}$$

(6) 凑微法总结

  多用于可降阶的高阶微分方程求解：

  ($a$) $x\pm y$型：
$$x\text{d}x+y\text{d}y=\frac{1}{2}\text{d}(x^2+y^2)$$

$$x\text{d}y+y\text{d}x=\text{d}(xy)$$

$$\frac{x\text{d}y-y\text{d}x}{x^2}=\text{d}(\frac{y}{x})$$