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[更新ing] 高数考研归纳 - 微分方程

发布于2020-09-28 21:06     阅读(273)     评论(0)     点赞(17)     收藏(3)


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文章目录

记忆内容

1 基本概念

  定义:含导数微分的方程是微分方程 ( D.E. \text{D.E.} D.E.).

  一般形式 f ( x , y , y ′ , . . . , y ( n ) ) = 0 f(x,y,y',...,y^{(n)})=0 f(x,y,y,...,y(n))=0

  微分方程的阶数:微分方程中所含导数或微分的最高阶数. 如下面的微分方程为二阶微分方程:
y ′ ′ − 3 y ′ + 2 y = 0 y''-3y'+2y=0 y3y+2y=0

  微分方程的解
    (1) :使微分方程成立的解.
    (2) 通解:微分方程中的解中所含的相互独立的任意常数的个数与   D.E   \,\text{D.E}\, D.E的阶数相等,称此解为微分方程的通解.
    (3) 特解:不含任意常数的解.
     y 1 = e x y_1=e^x y1=ex y 2 = e 2 x   y_2=e^{2x}\, y2=e2x   y ′ ′ − 3 y ′ + 2 y = 0   \,y''-3y'+2y=0\, y3y+2y=0的特解.
     y 3 = C 1 e x + C 2 e 2 x   y_3=C_1e^x+C_2e^{2x}\, y3=C1ex+C2e2x   y ′ ′ − 3 y ′ + 2 y = 0   \,y''-3y'+2y=0\, y3y+2y=0的通解.

   初值条件:求一个微分方程某个特解所满足的条件.

   初值问题
      (1) 求微分方程   y ′ = f ( x , y )   \,y'=f(x,y)\, y=f(x,y)满足初值条件   y ∣ x = x 0 = y 0   \,y|_{x=x_0}=y_0\, yx=x0=y0的特解的问题,叫做一阶微分方程的初值问题,记作:
{ y ′ = f ( x , y ) y ∣ x = x 0 = y 0 {y=f(x,y)y|x=x0=y0 {y=f(x,y)yx=x0=y0
      (2) 一阶微分方程的初值问题记作:
{ y ′ ′ = f ( x , y , y ′ ) y ∣ x = x 0 = y 0 ,   y ′ ∣ x = x 0 = y 0 ′ {y=f(x,y,y)y|x=x0=y0,y|x=x0=y0 {y=f(x,y,y)yx=x0=y0,yx=x0=y0

   微分方程的积分曲线:微分方程的解的图形.

2 一阶微分方程

(一) 可分离变量的微分方程

  特征
d y d x = φ 1 ( x ) φ 2 ( y ) \color{Purple}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\varphi_1(x)\varphi_2(y) dxdy=φ1(x)φ2(y)

  解法
    step 1: 分离变量
    step 2: 两边积分.
d y d x = f ( x , y ) ⇒ d y φ 2 ( y ) = φ 1 ( x ) d x ⇒ ∫ d y φ 2 ( y ) = ∫ φ 1 ( x ) d x + C \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x,y)\Rightarrow\frac{\text{d}y}{\varphi_2(y)}=\varphi_1(x)\text{d}x\Rightarrow\int\frac{\text{d}y}{\varphi_2(y)}=\int\varphi_1(x)\text{d}x+C dxdy=f(x,y)φ2(y)dy=φ1(x)dxφ2(y)dy=φ1(x)dx+C

  注意:在分离变量的过程中,要注意分母不为零. 在移项过程中,可能需要分类讨论.

(二) 齐次微分方程

  特征
d y d x = φ ( y x ) \color{Purple}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\varphi(\frac{y}{x}) dxdy=φ(xy)

    或
d x d y = φ ( x y ) \color{Purple}\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\varphi(\frac{x}{y}) dydx=φ(yx)

  解法
    step 1:
令 : u = y x , 则   d y d x = u + x d u d x 令:{\color{Blue}u=\frac{y}{x}},则\,{\color{Blue}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}} u=xydxdy=u+xdxdu

      代入原方程得到:
u + x d u d x = φ ( u ) u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\varphi(u) u+xdxdu=φ(u)

    step 2: 两边积分.
∫ d u φ ( u ) − u = ∫ d x x + C \int\frac{\text{d}u}{\varphi(u)-u}=\int\frac{\text{d}x}{x}+C φ(u)udu=xdx+C

(三) 一阶齐次线性微分方程

  特征
d y d x + P ( x ) y = 0 \color{Purple}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=0 dxdy+P(x)y=0

  通解公式
y = C e − ∫ P ( x ) d x \color{Blue} y=Ce^{-\int P(x)\text{d}x} y=CeP(x)dx

  注意
    (1) ∫ P ( x ) d x   {\int P(x)}\text{d}x\, P(x)dx并不表示   P ( x )   \,P(x)\, P(x)的所有原函数,而表示一个确定的原函数. 实际上是   ∫ x 0 x P ( x ) d x   \,{\int^x_{x_0} P(x)}\text{d}x\, x0xP(x)dx的简写,常数   x 0   \,x_0\, x0可任取.
    (2) 高阶齐次线性微分方程也可使用该公式进行降阶,如:
y ′ ′ + x + 2 x + 1   y ′ = 0 ⇒ y ′ = C e − ∫ x + 2 x + 1 d x y''+\frac{x+2}{x+1}\,y'=0\Rightarrow y'=Ce^{-\int\frac{x+2}{x+1}\text{d}x} y+x+1x+2y=0y=Cex+1x+2dx

    (3) 偏微分方程也可以该公式求解,如:
∂ f ( 0 , y ) ∂ y − cot y ⋅ f ( 0 , y ) = 0 ⇒ f ( 0 , y ) = C e ∫ cot y d y = C sin y \frac{\partial f(0,y)}{\partial y}-\text{cot}y\cdot f(0,y)=0\Rightarrow f(0,y)=Ce^{\int\text{cot}y\text{d}y}=C\text{sin}y yf(0,y)cotyf(0,y)=0f(0,y)=Cecotydy=Csiny

(四) 一阶非齐次线性微分方程

  特征
d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \color{Purple}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)

  通解公式
y = [ ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ] e − ∫ P ( x ) d x {\color{Blue} y=}\bigg[{\color{Blue} \int Q(x){\color{Green}e^{\int P(x)\text{d}x}}\text{d}x+C}\bigg]\color{Blue}\color{Green}e^{-\int P(x)\text{d}x} y=[Q(x)eP(x)dxdx+C]eP(x)dx

  注意
    (1) e ∫ P ( x ) d x   e^{\int P(x)\text{d}x}\, eP(x)dx   e − ∫ P ( x ) d x   \,e^{-\int P(x)\text{d}x}\, eP(x)dx互为倒数,计算一个即可得到另一个,不要重复计算.
    (2) 一阶线性微分方程通解公式中,若   ∫ P ( x ) d x = ln ∣ φ ( x ) ∣ \,\int P(x)\text{d}x=\text{ln}|\varphi(x)| P(x)dx=lnφ(x),则   φ ( x )   \,\varphi(x)\, φ(x)可以不加绝对值. 其他计算过程都要加!
    (3) ∫ Q ( x ) . . . d x   \int Q(x)...\text{d}x\, Q(x)...dx ∫ P ( x ) d x   {\int P(x)}\text{d}x\, P(x)dx并不表示所有原函数,而表示一个确定的原函数. 实际上是   ∫ x 0 x Q ( x ) . . . d x \,{\int^x_{x_0} Q(x)...}\text{d}x x0xQ(x)...dx   ∫ x 0 x P ( x ) d x   \,{\int^x_{x_0} P(x)}\text{d}x\, x0xP(x)dx的简写,常数   x 0   \,x_0\, x0可任取.

    如果一个一阶非齐次线性微分方程中含有另一个函数   f ( x ) \,f(x) f(x),如:
y ′ + a y = f ( x ) y'+ay=f(x) y+ay=f(x)

    则该方程的解中一定要将不定积分改为变积分限函数
y = [ ∫ 0 x f ( x ) e a t d t + C ] e − a x y=\bigg[\int^x_0f(x)e^{at}\text{d}t+C\bigg]e^{-ax} y=[0xf(x)eatdt+C]eax

(五) 伯努利方程

  特征
d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n      ( n ≠ 0 , 1 ) \color{Purple}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n\;\;(n\neq 0,1) dxdy+P(x)y=Q(x)yn(n=0,1)

  解法

    令   z = y 1 − n \,{\color{Blue}z=y^{1-n}} z=y1n,则
d z d x = ( 1 − n ) y − n d y d x \frac{\text{d}z}{\text{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x} dxdz=(1n)yndxdy

    代入原方程得到:
d z d x + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x ) \frac{\text{d}z}{\text{d}x}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) dxdz+(1n)P(x)z=(1n)Q(x)

    然后使用公式求解这个一阶非齐次线性微分方程即可.

  注意
    若   n = 0 \,n=0 n=0,就是一般的一阶非齐次线性微分方程.
    若   n = 1 \,n=1 n=1,则为可分离变量的微分方程.

(六) 全微分方程

  定义:设   P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0   \,P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0\, P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0满足 ∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y \color{Purple}\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} xQ=yP

    则称   P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0   \,\color{Purple}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0\, P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0为全微分方程.

  通解
u ( x , y ) = C \color{Blue} u(x,y)=C u(x,y)=C

    其中:
  d u = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \,\text{d}u=P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

u ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y u(x,y)=\int^{(x,y)}_{(x_0,y_0)}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y u(x,y)=(x0,y0)(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy

  解法
    step 1: 计算   P \,P P Q Q Q,确定满足全微分方程条件
    step 2: 使用公式计算   u ( x , y ) \,u(x,y) u(x,y),也可以使用凑微法.

3 可降阶的高阶微分方程

(一)   y ( n ) = f ( x ) \,y^{(n)}=f(x) y(n)=f(x)

  解法: 进行   n   \,n\, n次不定积分即可求解.

(二) 缺   y   \,y\, y型:   f ( x ,   y ′ ,   y ′ ′ ) = 0   \,f(x,\,y',\,y'')=0\, f(x,y,y)=0

  解法
    step 1:
令 : y ′ = p , 则   y ′ ′ = d p d x , f ( x ,   p ,   d p d x ) 令:{\color{Blue}y'=p},则\,{\color{Blue}y''=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}},\color{Blue}f(x,\,p,\,\frac{\text{d}p}{\text{d}x}) y=py=dxdpf(x,p,dxdp)

    step 2: 解出   p = φ ( x , C 1 )   \,p=\varphi(x,C_1)\, p=φ(x,C1),则原方程通解为   y = ∫ φ ( x , C 1 ) d x + C 2 \,y=\int\varphi(x,C_1)\text{d}x+C_2 y=φ(x,C1)dx+C2.

  注意:如果方程没有出现   y ′ \,y' y,最低阶为   y ( s )   \,y^{(s)}\, y(s)且还有更高阶,则应设   y ( s ) = p   \,y^{(s)}=p\, y(s)=p.

(三) 缺   x   \,x\, x型:   f ( y ,   y ′ ,   y ′ ′ ) = 0   \,f(y,\,y',\,y'')=0\, f(y,y,y)=0

    step 1:
令 : y ′ = p , 则   y ′ ′ = d p d x = p d p d y , f ( x ,   p ,   p d p d y ) 令:{\color{Blue}y'=p},则\,{\color{Blue}y''=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}},\color{Blue}f(x,\,p,\,p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}) y=py=dxdp=pdydpf(x,p,pdydp)

    step 2: 解出   p = φ ( y , C 1 )   \,p=\varphi(y,C_1)\, p=φ(y,C1),则   ∫ d y φ ( y , C 1 ) = x + C 2 \,\int\frac{\text{d}y}{\varphi(y,C_1)}=x+C_2 φ(y,C1)dy=x+C2.

  注意
    (1) 可降阶的微分方程除了规范解法以外,也可以使用一些技巧求解 (比如凑微法使用一阶线性微分方程降阶等).
    (2) 如果是求特解,初值条件越早代入越好,在得到   p   \,p\, p   x   \,x\, x的方程时就可以代入初值条件,求出常数部分.

4 高阶微分方程

(一) 定义

  (1) n   n\, n阶齐次线性微分方程
y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n − 1 ) + . . . + a n − 1 ( x ) y ′ + a n ( x ) y = 0        ( ∗ ) \color{Purple}y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0\;\;\;\color{Red}{(*)} y(n)+a1(x)y(n1)+...+an1(x)y+an(x)y=0()

  (2) n   n\, n阶非齐次线性微分方程
y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n − 1 ) + . . . + a n − 1 ( x ) y ′ + a n ( x ) y = 0        ( ∗ ∗ ) \color{Purple}y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0\;\;\;\color{Red}{(**)} y(n)+a1(x)y(n1)+...+an1(x)y+an(x)y=0()

  (3) n   n\, n阶非齐次线性微分方程分解
    若   f ( x ) = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) \,f(x)=f_1(x)+f_2(x) f(x)=f1(x)+f2(x),则方程可分解为:
y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n − 1 ) + . . . + a n − 1 ( x ) y ′ + a n ( x ) y = f 1 ( x )        ( ∗ ∗ ) ′ y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f_1(x)\;\;\;\color{Red}{(**)}' y(n)+a1(x)y(n1)+...+an1(x)y+an(x)y=f1(x)()

y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n − 1 ) + . . . + a n − 1 ( x ) y ′ + a n ( x ) y = f 2 ( x )        ( ∗ ∗ ) ′ ′ y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f_2(x)\;\;\;\color{Red}{(**)}'' y(n)+a1(x)y(n1)+...+an1(x)y+an(x)y=f2(x)()

(二) 解的结构

  (1) 若   φ 1 ( x ) , . . . , φ s ( x )   \,\varphi_1(x),...,\varphi_s(x)\, φ1(x),...,φs(x)   ( ∗ )   \,\color{Red}{(*)}\, ()的解,则   k 1 φ 1 ( x ) + . . . + k s φ s ( x )   \,k_1\varphi_1(x)+...+k_s\varphi_s(x)\, k1φ1(x)+...+ksφs(x) (线性组合) 为   ( ∗ )   \,\color{Red}{(*)}\, ()的解.

  (2) 若   φ 1 ( x ) , . . . , φ s ( x )   \,\varphi_1(x),...,\varphi_s(x)\, φ1(x),...,φs(x)   ( ∗ ∗ )   \,\color{Red}{(**)}\, ()的解,则:
k 1 + . . . + k s = 0 ⇔ k 1 φ 1 ( x ) + . . . + k s φ s ( x ) 为 ( ∗ ) 的 解 k_1+...+k_s=0\Leftrightarrow k_1\varphi_1(x)+...+k_s\varphi_s(x)为{\color{Red}(*)}的解 k1+...+ks=0k1φ1(x)+...+ksφs(x)()

k 1 + . . . + k s = 1 ⇔ k 1 φ 1 ( x ) + . . . + k s φ s ( x ) 为 ( ∗ ∗ ) 的 解 k_1+...+k_s=1\Leftrightarrow k_1\varphi_1(x)+...+k_s\varphi_s(x)为{\color{Red}(**)}的解 k1+...+ks=1k1φ1(x)+...+ksφs(x)()

    (例. y 1 y_1 y1 y 2   y_2\, y2   ( ∗ ∗ )   \,{\color{Red}(**)}\, ()的解, y 1 + y 2 2   \frac{y_1+y_2}{2}\, 2y1+y2也为   ( ∗ ∗ )   \,{\color{Red}(**)}\, ()的解.)

  (3) 若   φ 1 ( x ) \,\varphi_1(x) φ1(x) φ 2 ( x )   \varphi_2(x)\, φ2(x)   ( ∗ ) \,\color{Red}{(*)} () ( ∗ ∗ )   \color{Red}{(**)}\, ()的解,则
φ 1 ( x ) + φ 2 ( x ) 为   ( ∗ ∗ )   的 解 \varphi_1(x)+\varphi_2(x)为\,{\color{Red}(**)}\,的解 φ1(x)+φ2(x)()

  (4) 若   φ 1 ( x ) \,\varphi_1(x) φ1(x) φ 2 ( x )   \varphi_2(x)\, φ2(x)都为   ( ∗ ∗ )   \,\color{Red}{(**)}\, ()的解,则
φ 1 ( x ) − φ 2 ( x ) 为   ( ∗ )   的 解 \varphi_1(x)-\varphi_2(x)为\,{\color{Red}(*)}\,的解 φ1(x)φ2(x)()

  (5) 若   φ 1 ( x ) \,\varphi_1(x) φ1(x) φ 2 ( x )   \varphi_2(x)\, φ2(x)   ( ∗ ∗ ) ′ \,\color{Red}{(**)}' ()   ( ∗ ∗ ) ′ ′   \,\color{Red}{(**)}''\, ()的解,则
φ 1 ( x ) + φ 2 ( x ) 为   ( ∗ ∗ )   的 解 \varphi_1(x)+\varphi_2(x)为\,{\color{Red}{(**)}}\,的解 φ1(x)+φ2(x)()

  (6) 设   φ 1 ( x ) , . . . , φ n ( x )   \,\varphi_1(x),...,\varphi_n(x)\, φ1(x),...,φn(x)   ( ∗ )   \,\color{Red}{(*)}\, ()   n   \,n\, n个线性无关解,则   ( ∗ )   \,\color{Red}{(*)}\, ()的通解为
k 1 φ 1 ( x ) + k 2 φ 2 ( x ) + . . . + k n φ n ( x )        ( k 1 , k 2 , . . . , k n 为 任 意 常 数 ) k_1\varphi_1(x)+k_2\varphi_2(x)+...+k_n\varphi_n(x)\;\;\;(k_1,k_2,...,k_n为任意常数) k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x)(k1,k2,...,kn)

  (7) 设   φ 1 ( x ) , . . . , φ n ( x )   \,\varphi_1(x),...,\varphi_n(x)\, φ1(x),...,φn(x)   ( ∗ )   \,\color{Red}{(*)}\, ()   n   \,n\, n个线性无关解, φ 0 ( x )   \varphi_0(x)\, φ0(x)   ( ∗ ∗ )   \,\color{Red}{(**)}\, ()的一个特解,则   ( ∗ ∗ )   \,\color{Red}{(**)}\, ()的通解为
k 1 φ 1 ( x ) + k 2 φ 2 ( x ) + . . . + k n φ n ( x ) + φ 0 ( x )        ( k 1 , k 2 , . . . , k n 为 任 意 常 数 ) k_1\varphi_1(x)+k_2\varphi_2(x)+...+k_n\varphi_n(x)+\varphi_0(x)\;\;\;(k_1,k_2,...,k_n为任意常数) k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x)+φ0(x)(k1,k2,...,kn)

(三) 高阶常系数线性微分方程

(1) 高阶常系数齐次线性微分方程

二阶

  形式
y ′ ′ + p y ′ + q y = 0        ( p ,   q   为 常 数 ) \color{Purple}y''+py'+qy=0\;\;\;(p,\,q\,为常数) y+py+qy=0(p,q)

  解法
    step 1. 列特征方程
λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2+p\lambda+q=0 λ2+pλ+q=0

    step 2. 判断特征方程的   Δ \,\Delta Δ确定通解公式
      (1)   Δ > 0 \,\Delta>0 Δ>0,则   λ 1 ≠ λ 2 \,\lambda_1\neq\lambda_2 λ1=λ2

       通解公式为:
y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x \color{Blue}y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2x} y=C1eλ1x+C2eλ2x

      (2)   Δ = 0 \,\Delta=0 Δ=0,则   λ 1 = λ 2 \,\lambda_1=\lambda_2 λ1=λ2
       通解公式为:
y = ( C 1 + C 2 x )   e λ 1 x \color{Blue}y=(C_1+C_2x)\,e^{\lambda_1x} y=(C1+C2x)eλ1x

      (3)   Δ < 0 \,\Delta<0 Δ<0,则有两个共轭虚根   λ 1 , 2 = 1 ± i \,\lambda_{1,2}=1\pm i λ1,2=1±i
       通解公式为:
y = e α x   ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) \color{Blue}y=e^{\alpha x}\,(C_1\text{cos}\beta x+C_2\text{sin}\beta x) y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

特征方程的根微分方程通解中的对应项
两个不等实根   λ 1 \,\lambda_1 λ1 λ 2 \lambda_2 λ2 C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x} C1eλ1x+C2eλ2x
两个相等实根   λ 1 = λ 2   \,\lambda_1=\lambda_2\, λ1=λ2 ( C 1 + C 2 x ) e λ 1 x (C_1+C_2x)e^{\lambda_1x} (C1+C2x)eλ1x
一对共轭复根   λ 1 , 2 = α ± β i   \,\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\, λ1,2=α±βi e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) e^{\alpha x}(C_1\text{cos}\beta x+C_2\text{sin}\beta x) eαx(C1cosβx+C2sinβx)
三阶

  形式
y ′ ′ ′ + p y ′ ′ + q y ′ + r y = 0 \color{Purple}y'''+py''+qy'+ry=0 y+py+qy+ry=0

  特征方程
λ 3 + p λ 2 + q λ + r = 0 \lambda^3+p\lambda^2+q\lambda+r=0 λ3+pλ2+qλ+r=0

  通解

    (1) 若   λ 1 \,\lambda_1 λ1 λ 2 \lambda_2 λ2 λ 3   \lambda_3\, λ3为实单根 (两两不等),则通解为:
y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x + C 3 e λ 3 x \color{Purple}y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}+C_3e^{\lambda_3x} y=C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x

    (2) 若   λ 1 = λ 2 ≠ λ 3   \,\lambda_1=\lambda_2\neq\lambda_3\, λ1=λ2=λ3为实根,则通解为:
y = ( C 1 + C 2 x ) e λ 1 x + C 3 e λ 3 x \color{Purple}y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}+C_3e^{\lambda_3x} y=(C1+C2x)eλ1x+C3eλ3x

    (3) 若   λ 1 = λ 2 = λ 3   \,\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3\, λ1=λ2=λ3为实根,则通解为:
y = ( C 1 + C 2 x + C 3 x 2 ) e λ 1 x \color{Purple}y=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{\lambda_1x} y=(C1+C2x+C3x2)eλ1x

    (4) 若   λ 1 , 2 = α ± i β , λ 3 ∈ R \,\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta,\lambda_3\in \mathbf{R} λ1,2=α±iβλ3R,通解为:
y = e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) + C 3 e λ 3 x \color{Purple}y=e^{\alpha x}(C_1\text{cos}\beta x+C_2\text{sin}\beta x)+C_3e^{\lambda_3 x} y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)+C3eλ3x

  n   \,n\, n

  形式
y ( n ) + a 1 y ( n − 1 ) + . . . + a n − 1 y ′ + a n y = 0 \color{Purple}y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=0 y(n)+a1y(n1)+...+an1y+any=0

  特征方程
λ n + a 1 λ ( n − 1 ) + . . . + a n − 1 λ + a n = 0 \lambda^n+a_1\lambda^{(n-1)}+...+a_{n-1}\lambda+a_n=0 λn+a1λ(n1)+...+an1λ+an=0

  通解

特征方程的根微分方程通解中的对应项 y i y_i yi
单实根   λ \,\lambda λ C e λ x Ce^{\lambda x} Ceλx
k   k\, k重实根   λ   \,\lambda\, λ C e λ x ( C 1 + C 2 x + . . . + C k x k − 1 ) Ce^{\lambda x}(C_1+C_2x+...+C_kx^{k-1}) Ceλx(C1+C2x+...+Ckxk1)
一对单复根   λ 1 , 2 = α ± β i   \,\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\, λ1,2=α±βi e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) e^{\alpha x}(C_1\text{cos}\beta x+C_2\text{sin}\beta x) eαx(C1cosβx+C2sinβx)
一对   k   \,k\, k重复根   λ 1 , 2 = α ± β i   \,\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i\, λ1,2=α±βi e α x [ ( C 1 + C 2 x + . . . + C k x k − 1 ) cos β x + ( D 1 + D 2 x + . . . + D k x k − 1 ) sin β x e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+...+C_kx^{k-1})\text{cos}\beta x+(D_1+D_2x+...+D_kx^{k-1})\text{sin}\beta x eαx[(C1+C2x+...+Ckxk1)cosβx+(D1+D2x+...+Dkxk1)sinβx

  每一个通解对应项为   y i   \,y_i\, yi,则   n   \,n\, n阶常系数齐次线性微分方程的通解表示为:
y = y 1 + y 2 + . . . + y n y=y_1+y_2+...+y_n y=y1+y2+...+yn

(2) 高阶常系数非齐次线性微分方程

  下面只给出二阶常系数非齐次线性微分方程的解法:

  特征
y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x )        ( p ,   q   为 常 数 ) \color{Purple}y''+py'+qy=f(x)\;\;\;(p,\,q\,为常数) y+py+qy=f(x)(p,q)

( ∗ ∗ )   的 通 解 = ( ∗ )   的 通 解 + ( ∗ ∗ )   的 特 解 \color{Purple}(**)\,的通解 =(*)\,的通解+(**)\,的特解 ()=()+()

型1: f ( x ) = P n ( x ) e k x f(x)=P_n(x)e^{kx} f(x)=Pn(x)ekx

  解法
    step 1. 求出   ( ∗ )   \color{Red}\,(*)\, ()的通解   y \,\color{Green}y y.

    step 2. 按照   f ( x )   \,f(x)\, f(x)的形式假设   ( ∗ ∗ )   \,\color{Red}(**)\, ()的特解   y 0 = x ? Q n ( x ) e k x \,y_0=x^?Q_n(x)e^{kx} y0=x?Qn(x)ekx. 其中   Q n ( x )   \,Q_n(x)\, Qn(x)是对照   P n ( x )   \,P_n(x)\, Pn(x)确定的   n   \,n\, n次多项式.

      情形一:若   k   \,k\, k不等于任一特征值,令
y 0 = Q n ( x ) e k x = ( a 0 + a 1 x + . . . + a n x n ) e k x \color{Blue}y_0=Q_n(x)e^{kx}=(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx} y0=Qn(x)ekx=(a0+a1x+...+anxn)ekx

        如: f ( x ) = ( x 2 + 2 x ) e x f(x)=(x^2+2x)e^x f(x)=(x2+2x)ex,则假设   y 0 = ( a x 2 + b x + c ) e x \,y_0=(ax^2+bx+c)e^x y0=(ax2+bx+c)ex.

      情形二:若   k   \,k\, k与一个特征值相同,令
y 0 = x ⋅ Q n ( x ) e k x = x ⋅ ( a 0 + a 1 x + . . . + a n x n ) e k x \color{Blue}y_0=x\cdot Q_n(x)e^{kx}=x\cdot(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx} y0=xQn(x)ekx=x(a0+a1x+...+anxn)ekx

        如: f ( x ) = ( x + 1 ) e 2 x f(x)=(x+1)e^{2x} f(x)=(x+1)e2x,则假设   y 0 = x   ( a x + b ) e 2 x \,y_0=x\,(ax+b)e^{2x} y0=x(ax+b)e2x.

      情形三:若   k   \,k\, k与两个特征值都相同,令
y 0 = x 2 ⋅ Q n ( x ) e k x = x 2 ⋅ ( a 0 + a 1 x + . . . + a n x n ) e k x \color{Blue}y_0=x^2\cdot Q_n(x)e^{kx}=x^2\cdot(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx} y0=x2Qn(x)ekx=x2(a0+a1x+...+anxn)ekx

        如: f ( x ) = ( 2 x − 1 ) e 2 x f(x)=(2x-1)e^{2x} f(x)=(2x1)e2x,则假设   y 0 = x 2   ( a x + b ) e 2 x \,y_0=x^2\,(ax+b)e^{2x} y0=x2(ax+b)e2x.

    step 3. 将特解代入原方程,解出未知数的值. (可以通过下面的快速确定特解减少运算量)

    step 4. 得到   ( ∗ ∗ )   \color{Red}\,(**)\, ()的通解   y = y + y 0 \,y={\color{Green}y}+y_0 y=y+y0.

  快速确定特解
     p   p\, p   y ′   \,y'\, y的系数, q   q\, q   y   \,y\, y的系数.

    (1) k ≠ λ 1 ≠ λ 2 k\neq\lambda_1\neq\lambda_2 k=λ1=λ2
y 0 = ( a 0 + a 1 x + . . . + a n x n ) e k x = R ( x ) e k x y_0=(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx}=R(x)e^{kx} y0=(a0+a1x+...+anxn)ekx=R(x)ekx

      通过下面的式子即可直接确定待定常数:
R ′ ′ + ( 2 k + p ) R ′ + ( k 2 + p k + q ) R = P n ( x ) \color{Blue}R''+(2k+p)R'+(k^2+pk+q)R=P_n(x) R+(2k+p)R+(k2+pk+q)R=Pn(x)

    (2) k = λ 1 ≠ λ 2 k=\lambda_1\neq\lambda_2 k=λ1=λ2
y 0 = x ⋅ ( a 0 + a 1 x + . . . + a n x n ) e k x = R ( x ) e k x y_0=x\cdot(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx}=R(x)e^{kx} y0=x(a0+a1x+...+anxn)ekx=R(x)ekx

      通过下面的式子即可直接确定待定常数:
R ′ ′ + ( 2 k + p ) R ′ = P n ( x ) \color{Blue}R''+(2k+p)R'=P_n(x) R+(2k+p)R=Pn(x)

    (3) k = λ 1 = λ 2 k=\lambda_1=\lambda_2 k=λ1=λ2
y 0 = x 2 ⋅ ( a 0 + a 1 x + . . . + a n x n ) e k x = R ( x ) e k x y_0=x^2\cdot(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx}=R(x)e^{kx} y0=x2(a0+a1x+...+anxn)ekx=R(x)ekx

      通过下面的式子即可直接确定待定常数:
R ′ ′ = P n ( x ) \color{Blue}R''=P_n(x) R=Pn(x)

    特别强调 R   R\, R是除去   e k x \,e^{kx} ekx的整个多项式,包括前面多乘的   x γ \,x^\gamma xγ.

    还有,如果   P n ( x )   \,P_n(x)\, Pn(x)足够简单,可以尝试直接看出特解.

  推广至   n   \,n\, n
y 0 = x γ ⋅ Q n ( x ) e λ x \color{Blue} y_0=x^\gamma\cdot Q_n(x)e^{\lambda x} y0=xγQn(x)eλx

    其中   γ   \,\gamma\, γ是特征方程中含根   λ   \,\lambda\, λ的重复次数.

型2: f ( x ) = e α x [ P m ( x ) cos β x + P s ( x ) sin β x ] f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\text{cos}\beta x+P_s(x)\text{sin}\beta x] f(x)=eαx[Pm(x)cosβx+Ps(x)sinβx]

  注意
    (1) P m ( x ) P_m(x) Pm(x) P s ( x )   P_s(x)\, Ps(x)分别代表   m   \,m\, m次和   s   \,s\, s次多项式.
    (2) 注意   α \,\alpha α β   \beta\, β的位置: f ( x ) = e α x [ P m ( x ) cos β x + P s ( x ) sin β x ] f(x)=e^{{\color{Red}\alpha} x}[P_m(x)\text{cos}{\color{Red}\beta} x+P_s(x)\text{sin}{\color{Red}\beta} x] f(x)=eαx[Pm(x)cosβx+Ps(x)sinβx]
    (3) 假设特解时,不管   f ( x )   \,f(x)\, f(x)中有没有,正弦和余弦都需要设.

  解法
    step 1. 求出   ( ∗ )   \color{Red}\,(*)\, ()的通解   y \,y y.

    step 2. 按照   f ( x )   \,f(x)\, f(x)的形式假设   ( ∗ ∗ )   \,\color{Red}(**)\, ()的特解   y 0 \,y_0 y0.
        设   n = max ( l , s ) \,n=\text{max}(l,s) n=max(l,s) Q n ( x ) = ( a 0 + a 1 x + . . . + a n x n ) Q_n(x)=(a_0+a_1x+...+a_nx^n) Qn(x)=(a0+a1x+...+anxn).

      情形一:若   α + i β   \,\alpha+i\beta\, α+iβ不是特征值,则令 y 0 ( x ) = e α x [ Q n ( 1 ) ( x ) cos β x + Q n ( 2 ) ( x ) sin β x ] \color{Blue}y_0(x)=e^{\alpha x}[Q^{(1)}_n(x)\text{cos}\beta x+Q^{(2)}_n(x)\text{sin}\beta x] y0(x)=eαx[Qn(1)(x)cosβx+Qn(2)(x)sinβx]

           Q n ( 1 ) ( x ) Q_n^{(1)}(x) Qn(1)(x) Q n ( 2 ) ( x )   Q_n^{(2)}(x)\, Qn(2)(x)为两个不同的   n   \,n\, n次多项式.

      情形二:若   α + i β   \,\alpha+i\beta\, α+iβ是特征值,则令 y 0 ( x ) = x ⋅ e α x [ Q n ( 1 ) ( x ) cos β x + Q n ( 2 ) ( x ) sin β x ] \color{Blue}y_0(x)=x\cdot e^{\alpha x}[Q^{(1)}_n(x)\text{cos}\beta x+Q^{(2)}_n(x)\text{sin}\beta x] y0(x)=xeαx[Qn(1)(x)cosβx+Qn(2)(x)sinβx]

           Q n ( 1 ) ( x ) Q_n^{(1)}(x) Qn(1)(x) Q n ( 2 ) ( x )   Q_n^{(2)}(x)\, Qn(2)(x)为两个不同的   n   \,n\, n次多项式.

  :设   y ′ ′ − 2 y ′ + 2 y = x e x cos x \,y''-2y'+2y=xe^x\text{cos}x y2y+2y=xexcosx,求该方程的特解形式.
     1 o    1^o\; 1o   λ 2 − 2 λ + 2 = 0 ⇒ λ 1 , 2 = 1 ± i   \,\lambda^2-2\lambda+2=0\Rightarrow \lambda_{1,2}=1\pm i\, λ22λ+2=0λ1,2=1±i.
     2 o    2^o\; 2o 观察   x e x cos x \,xe^x\text{cos}x xexcosx α = 1 \alpha=1 α=1 β = 1 \beta=1 β=1 α + i β = 1 + i   \alpha+i\beta=1+i\, α+iβ=1+i为特征值.
     3 o    3^o\; 3o 设该方程特解为:
y 0 ( x ) = x e x [ ( a x + b ) sin x + ( c x + d ) sin x ] y_0(x)=xe^x[(ax+b)\text{sin}x+(cx+d)\text{sin}x] y0(x)=xex[(ax+b)sinx+(cx+d)sinx]

  推广至   n   \,n\, n
y 0 = x γ ⋅ e α x [ Q n ( 1 ) ( x ) cos β x + Q n ( 2 ) ( x ) sin β x ] \color{Blue}y_0=x^\gamma\cdot e^{\alpha x}[Q_n^{(1)}(x)\text{cos}\beta x+Q_n^{(2)}(x)\text{sin}\beta x] y0=xγeαx[Qn(1)(x)cosβx+Qn(2)(x)sinβx]

    其中   Q n ( 1 ) ( x ) \,Q_n^{(1)}(x) Qn(1)(x) Q n ( 2 ) ( x )   Q_n^{(2)}(x)\, Qn(2)(x)   n   \,n\, n次多项式, n = max { l , s } n=\text{max}\{l,s\} n=max{l,s}   γ   \,\gamma\, γ是特征方程中含根   α ± β i   \,\alpha\pm\beta i\, α±βi的重复次数.

(四) 欧拉方程

   形式
x n y ( n ) + a 1 x n − 1 y ( n − 1 ) + . . . + a n − 1 x y ′ + a n y = f ( x ) \color{Purple}x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{n-1}xy'+a_ny=f(x) xny(n)+a1xn1y(n1)+...+an1xy+any=f(x)

   解法
    若   x > 0   \,x>0\, x>0,令   x = e t \,\color{Blue}x=e^t x=et;若   x < 0   \,x<0\, x<0,令   x = − e t \,\color{Blue}x=-e^t x=et.

    记 d dt = D , d 2 dt 2 = D 2 , . . . , d n dt n = D n \frac{\text{d}}{\text{dt}}=\text{D},\frac{\text{d}^2}{\text{dt}^2}=\text{D}^2,...,\frac{\text{d}^n}{\text{dt}^n}=\text{D}^n dtd=Ddt2d2=D2...dtndn=Dn

    则
x y ′ = D y = d y d t xy'=\text{D}y=\frac{\text{d}y}{\text{d}t} xy=Dy=dtdy

x 2 y ′ ′ = D ( D − 1 ) y = d 2 y d t 2 − d y d t x^2y''=\text{D}(\text{D}-1)y=\frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}-\frac{\text{d}y}{\text{d}t} x2y=D(D1)y=dt2d2ydtdy

. . . ... ...

x k y ( k ) = D ( D − 1 ) . . . ( D − k + 1 ) y x^ky^{(k)}=\text{D}(\text{D}-1)...(\text{D}-k+1)y xky(k)=D(D1)...(Dk+1)y

. . . ... ...

x n y ( n ) = D ( D − 1 ) . . . ( D − n + 1 ) y x^ny^{(n)}=\text{D}(\text{D}-1)...(\text{D}-n+1)y xny(n)=D(D1)...(Dn+1)y

  步骤:
    以求   x 3 y ′ ′ ′ + x 2 y ′ ′ − 4 x y ′ = 3 x 2   \,x^3y'''+x^2y''-4xy'=3x^2\, x3y+x2y4xy=3x2的通解为例.
     1 o    1^o\; 1o先令   x = e t \,x=e^t x=et.

    令 x = e t x=e^t x=et,则   t = ln x \,t=\text{ln}x t=lnx

     2 o    2^o\; 2o用微分算子   D   \,\text{D}\, D表示所有   x k y ( k )   \,x^ky^{(k)}\, xky(k)项,加在一起,原方程化为   y   \,y\, y   t   \,t\, t的微分方程.

    原方程化为: D ( D − 1 ) ( D − 2 ) + D ( D − 1 ) − 4 D = 3 e 2 t \text{D}(\text{D}-1)(\text{D}-2)+\text{D}(\text{D}-1)-4\text{D}=3e^{2t} D(D1)(D2)+D(D1)4D=3e2t
    即 D 3 y − 2 D 2 y − 3 D y = 3 e 2 t \text{D}^3y-2\text{D}^2y-3\text{D}y=3e^{2t} D3y2D2y3Dy=3e2t
    或

d 3 y d t 3 − 2 d 2 y d t 2 − 3 d y d t = 3 e 2 t \frac{\text{d}^3y}{\text{d}t^3}-2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}-3\frac{\text{d}y}{\text{d}t}=3e^{2t} dt3d3y2dt2d2y3dtdy=3e2t

     3 o    3^o\; 3o此时方程为高阶常系数微分方程,可以进行求解:

    特征方程为: λ 3 − 2 λ 2 − 3 λ = 0 \lambda^3-2\lambda^2-3\lambda=0 λ32λ23λ=0
    解得: λ 1 = 0 \lambda_1=0 λ1=0 λ 2 = − 1 \lambda_2=-1 λ2=1 λ 3 = 3 \lambda_3=3 λ3=3
    于是方程   d 3 y d t 3 − 2 d 2 y d t 2 − 3 d y d t = 0   \,\frac{\text{d}^3y}{\text{d}t^3}-2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}-3\frac{\text{d}y}{\text{d}t}=0\, dt3d3y2dt2d2y3dtdy=0的通解为:

y = C 1 + C 2 e − t + C 3 e 3 t = C 1 + C 2 x + C 3 x 3 y=C_1+C_2e^{-t}+C_3e^{3t}=C_1+\frac{C_2}{x}+C_3x^3 y=C1+C2et+C3e3t=C1+xC2+C3x3

    设特解为: y 0 = a e 2 t = a x 2 y_0=ae^{2t}=ax^2 y0=ae2t=ax2,代入原方程得   a = − 1 2 \,a=-\frac{1}{2} a=21,于是特解
y 0 = − x 2 2 y_0=-\frac{x^2}{2} y0=2x2

    该欧拉方程的通解为:
y = C 1 + C 2 x + C 3 x 3 − x 2 2 y=C_1+\frac{C_2}{x}+C_3x^3-\frac{x^2}{2} y=C1+xC2+C3x32x2

5 其他类型和技巧

(1) 关于化简

  化简到方程的解没有微分或导数符号就算正确,隐式通解也是正确的.

(2) 关于   C \,C C、绝对值、分母

求通解

  下面用这个微分方程说明   C   \,C\, C、绝对值和分母需要注意的地方:
d y d x = 2 x y \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2xy dxdy=2xy

  该微分方程明显是可分离变量型的微分方程.

  在移项时注意到   y   \,y\, y在分母上,移动分母时一定要考虑分母是否为0. 就要像下面这样分类讨论

    若   y = 0 \,y=0 y=0,显然这时方程的特解.
    若   y ≠ 0 \,y\neq0 y=0
d y d x = 2 x y ⇒ d y y = 2 x d x \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2xy\Rightarrow\frac{\text{d}y}{y}=2x\text{d}x dxdy=2xyydy=2xdx

  完成分离变量的工作以后就可以对两边积分,得到:
ln ∣ y ∣ = x 2 + C 1 \text{ln}|y|=x^2+C_1 lny=x2+C1

  注意   ln   \,\text{ln}\, ln积分后要带绝对值 ln ∣ y ∣ \text{ln}|y| lny,应该带绝对值,就一定要带绝对值.
  同时,解微分方程时, C   C\, C在最后求完不定积分以后单独加在一侧即可 (因为两侧出现的常数项可以合并),
  如果感觉在之后的运算中还会产生常数部分,就要对过程中出现的   C   \,C\, C进行编号 (比如上面的   C 1   \,C_1\, C1).

ln ∣ y ∣ = x 2 + C 1 ⇒ y = ± e C 1 e x 2 \text{ln}|y|=x^2+C_1\Rightarrow y=\pm e^{C_1}e^{x^2} lny=x2+C1y=±eC1ex2

  最后,需要对常数部分进行合并

    令   C = ± e C 1 \,C=\pm e^{C_1} C=±eC1,于是
y = C e x 2 ( C ≠ 0 ) y=Ce^{x^2} (C\neq 0) y=Cex2(C=0)

  综合特解   y = 0 \,y=0 y=0,得到最终通解为:
y = C e x 2 y=Ce^{x^2} y=Cex2

  另外,若等式两侧得待积分式都是   ln \,\text{ln} ln,加   C   \,C\, C有以下技巧 (方便之后合并常数部分):
d x x = d u 1 + u 2        ( x > 0 ) \frac{\text{d}x}{x}=\frac{\text{d}u}{\sqrt{1+u^2}}\;\;\;(x>0) xdx=1+u2 du(x>0)

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ln x = ln ( u + 1 + u 2 ) + ln C \text{ln}x=\text{ln}(u+\sqrt{1+u^2})+\color{Blue}\text{ln}C lnx=ln(u+1+u2 )+lnC

求特解

  求特解时,题目给出的特解条件其实就隐含了方程中   x   \,x\, x   y   \,y\, y的范围.
  比如:求某方程满足初始条件   y ( 1 ) = 1   \,y(1)=1\, y(1)=1的特解,就意味着   x   \,x\, x   y   \,y\, y都只需考虑正数.

(3) 微分方程中出现变积分限函数

  清理被积函数中的积分限变量,再对方程两边求导以消去积分.

  如:
f ( x ) = sin x − ∫ 0 x t f ( x − t ) d t f(x)=\text{sin}x-\int^x_0tf(x-t)\text{d}t f(x)=sinx0xtf(xt)dt

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f ( x ) = sin x − ∫ 0 x ( x − u ) f ( u ) d t = sin x − x ∫ 0 x f ( u ) d u − ∫ 0 x u f ( u ) d u f(x)=\text{sin}x-\int^x_0(x-u)f(u)\text{d}t=\text{sin}x-x\int^x_0f(u)\text{d}u-\int^x_0uf(u)\text{d}u f(x)=sinx0x(xu)f(u)dt=sinxx0xf(u)du0xuf(u)du

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f ′ ( x ) = cos x − ∫ 0 x f ( u ) d u f'(x)=\text{cos}x-\int^x_0f(u)\text{d}u f(x)=cosx0xf(u)du

⇓ \Downarrow

f ′ ′ ( x ) + f ( x ) = − sin x f''(x)+f(x)=-\text{sin}x f(x)+f(x)=sinx

  尤其还要注意的是,带定积分的微分方程可能具有隐含条件. 如:
f ( x ) − ∫ 0 x f ( x − t ) d t = e x f(x)-\int^x_0f(x-t)\text{d}t=e^x f(x)0xf(xt)dt=ex

  假设题目要求   f ( x ) \,f(x) f(x). 乍一看没有初始条件,很容易以为求到带   C   \,C\, C的结果就结束了.
  但实际上由于定积分的特点,方程显然满足还   f ( 0 ) = 0 \,f(0)=0 f(0)=0,结果自然是不应该出现   C   \,C\, C的.

      且   u ( 0 ) = 1 \,u(0)=1 u(0)=1 u ′ ( 0 ) = 0 u'(0)=0 u(0)=0,求   f ( v ) \,f(v) f(v).

(4) 分子为   1   \,1\, 1型微分方程

  形式如下:
d y d x = 1 φ ( x , y ) \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{\varphi(x,y)} dxdy=φ(x,y)1

  这类题目有以下几种思路:

    (1) 分子分母交换,然后对   x   \,x\, x使用一阶齐次线性微分方程的通解公式,如:

d y d x = 1 2 x + y 2 ⇒ d x d y − 2 x = y 2 \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{2x+y^2}\Rightarrow\frac{\text{d}x}{\text{d}y}-2x=y^2 dxdy=2x+y21dydx2x=y2

    (2) 对分母使用换元法,转化为易解微分方程. 尤其是分母次数较高的情况,如:
d y d x = 1 ( x + y ) 2 \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{(x+y)^2} dxdy=(x+y)21

(5) 换元法 (变换)

x x x y   y\, y交换

  题目需要交换   x \,x x y   y\, y的角色才能求解,各类微分方程都有使用场景.

  比如在齐次方程中,题目只给了   y > 0   \,y>0\, y>0的条件,而   x   \,x\, x不确定,导致只能移项时避免除   0 \,0 0,只能出现   x y \,\frac{x}{y} yx,就需要令   u = x y   \,u=\frac{x}{y}\, u=yx.

  有的题目可以通过对   x   \,x\, x使用通解公式,转化为一阶线性非齐次微分方程问题,比如:
y ′ = 1 2 x − y 2 y'=\frac{1}{2x-y^2} y=2xy21

  字母都集中在分母上,又不能用齐次或分离变量很好解决,可以考虑交换   x \,x x y   y\, y

d x d y + P ( y ) x = Q ( y ) , x = [ ∫ Q ( y ) e ∫ P ( y ) d y d y + C ] e − ∫ P ( y ) d y \color{Purple}\frac{\text{d}x}{\text{d}y}+P(y)x=Q(y),{\color{Blue} x=}\bigg[{\color{Blue} \int Q(y){\color{Green}e^{\int P(y)\text{d}y}}\text{d}y+C}\bigg]\color{Blue}\color{Green}e^{-\int P(y)\text{d}y} dydx+P(y)x=Q(y)x=[Q(y)eP(y)dydy+C]eP(y)dy

一般换元

  例如:
d y d x = 1 ( x + y ) 2 \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{(x+y)^2} dxdy=(x+y)21

  令   x + y = u \,x+y=u x+y=u,则
d u d x = 1 + u 2 u 2 \frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{1+u^2}{u^2} dxdu=u21+u2

  又比如:
y d y d x − 1 2 x y 2 = − x 2 y\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-\frac{1}{2x}y^2=-\frac{x}{2} ydxdy2x1y2=2x ⇒ d y 2 d x − 1 2 x y 2 = − x \Rightarrow\frac{\text{d}y^2}{\text{d}x}-\frac{1}{2x}y^2=-x dxdy22x1y2=x ⇒ y 2 = [ ∫ − x ⋅ e − ∫ 1 2 x d x d x ] ⋅ e ∫ 1 2 x d x \Rightarrow y^2=\bigg[\int -x\cdot e^{-\int\frac{1}{2x}\text{d}x}\text{d}x\bigg]\cdot e^{\int\frac{1}{2x}\text{d}x} y2=[xe2x1dxdx]e2x1dx

  注意:换元法不易想到,不过考试时复杂题目会直接给出变换. 先完成变换,再求通解.

三角函数换元

  一阶微分方程中出现三角函数,一定要考虑能否用换元法解决.

  比如要求下面这个微分方程:
y ′ + sin y + x cos y + x = 0 y'+\text{sin}y+x\text{cos}y+x=0 y+siny+xcosy+x=0

  下面给出过程:
y ′ + sin y + x cos y + x = 0 ⇔ y ′ + sin y + x ( cos x + 1 ) = 0 y'+\text{sin}y+x\text{cos}y+x=0\Leftrightarrow y'+\text{sin}y+x(\text{cos}x+1)=0 y+siny+xcosy+x=0y+siny+x(cosx+1)=0

⇔ y ′ + 2 sin y 2 cos y 2 + 2 x cos 2 y 2 = 0 \Leftrightarrow y'+2\text{sin}\frac{y}{2}\text{cos}\frac{y}{2}+2x\text{cos}^2\frac{y}{2}=0 y+2sin2ycos2y+2xcos22y=0

    两边除以   2 cos 2 y 2 \,2\text{cos}^2\frac{y}{2} 2cos22y,得到
1 2 sec 2 y 2 ⋅ d y d x + tan y 2 = − x \frac{1}{2}\text{sec}^2\frac{y}{2}\cdot\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+\text{tan}\frac{y}{2}=-x 21sec22ydxdy+tan2y=x

⇔ d ( tan y 2 ) d x + tan y 2 = − x \Leftrightarrow \frac{\text{d}(\text{tan}\frac{y}{2})}{\text{d}x}+\text{tan}\frac{y}{2}=-x dxd(tan2y)+tan2y=x

    令   u = tan y 2 \,u=\text{tan}\frac{y}{2} u=tan2y,原方程化为:
d u d x + u = − x \frac{\text{d}u}{\text{d}x}+u=-x dxdu+u=x

    问题就转化一阶非齐次线性微分方程了.

反函数变换

  有的题目会要求把微分方程替换为反函数满足的微分方程,牢记下面两个反函数的变换:

φ ′ ( y ) = 1 f ′ ( x ) \varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)} φ(y)=f(x)1

φ ′ ′ ( y ) = − f ′ ′ ( x ) f ′ 3 ( x ) \varphi''(y)=-\frac{f''(x)}{f'^3(x)} φ(y)=f3(x)f(x)

(6) 凑微法总结

  多用于可降阶的高阶微分方程求解:

  ( a a a) x ± y   x\pm y\, x±y型:
x d x + y d y = 1 2 d ( x 2 + y 2 ) \color{Blue} x\text{d}x+y\text{d}y=\frac{1}{2}\text{d}(x^2+y^2) xdx+ydy=21d(x2+y2)

x d y + y d x = d ( x y ) \color{Blue} x\text{d}y+y\text{d}x=\text{d}(xy) xdy+ydx=d(xy)

x d y − y d x x 2 = d ( y x ) \color{Blue} \frac{x\text{d}y-y\text{d}x}{x^2}=\text{d}(\frac{y}{x}) x2xdyydx=d(xy)

x d y − y d x y 2 = d ( − x y ) \color{Blue} \frac{x\text{d}y-y\text{d}x}{y^2}=\text{d}(-\frac{x}{y}) y2xdyydx=d(yx)

  ( b b b) 一般二元线性微分型:
a x d y + b y d x = d ( x b y a ) x ( b − 1 ) y a − 1        ( a ≠ 0 , b ≠ 0 ) {\color{Blue} ax\text{d}y+by\text{d}x=\frac{\text{d}(x^by^a)}{x^{(b-1)}y^{a-1}}}\;\;\;(a\neq 0, b \neq 0) axdy+bydx=x(b1)ya1d(xbya)(a=0,b=